맞춤법에 맞는 표기는 ‘자랑스러운’입니다. "남에게 드러내어 뽐낼 만한 데가 있다."라는 뜻을 나타내고, 비읍 불규칙 활용(보기를 참고하시기 바랍니다.)을 하는 ‘자랑스럽다’는 어간 ‘자랑스럽-’ 뒤에 어미 ‘-은’이 붙으면, ‘자랑스러운’과 같이 활용합니다.
어간의 말음인 ‘ㅂ’을 탈락시켜 ‘*자랑스런, *사랑스런’처럼 쓰기도 하지만, 맞춤법에 맞는 표기는 ‘ㅂ’이 ‘우’로 변하는 형태인 ‘자랑스러운, 사랑스러운’입니다.
(관련 규정: ‘한글 맞춤법’ 제18항)
<보기>
1. 비읍 불규칙 활용
어간의 말음인 ‘ㅂ’이 ‘아’나 ‘아’로 시작되는 어미 앞에서는 ‘오’로, ‘어’나 ‘어’로 시작되는 어미 및 매개 모음을 요구하는 어미 앞에서는 ‘우’로 변하는 불규칙 활용. ‘와’, ‘워’, ‘우니’의 형태로 결합되어 나타나며, ‘돕-+-아→도와’, ‘굽-+-어→구워’, ‘아름답-+-(으)니→아름다우니’ 따위가 있다.
2. ‘한글 맞춤법’ 제18항
다음과 같은 용언들은 어미가 바뀔 경우, 그 어간이나 어미가 원칙에 벗어나면 벗어나는 대로 적는다.
어간의 끝 ‘ㅂ’이 ‘ㅜ’로 바뀔 적
깁다: 기워 기우니 기웠다
괴롭다: 괴로워 괴로우니 괴로웠다
무겁다: 무거워 무거우니 무거웠다
어간 끝에 ‘ㅂ’ 받침을 가진 용언 중, ‘굽다[炙], 깁다, 눕다, 줍다, 가깝다, 가볍다, 간지럽다, 괴롭다, 그립다, 노엽다, 더럽다, 덥다, 맵다, 메스껍다, 무겁다, 미덥다, 밉다, 사납다, 서럽다, 쉽다, 아니꼽다, 어둡다, 역겹다, 즐겁다, 지겹다, 차갑다, 춥다’ 등과, 접미사 ‘-답다, -롭다, -스럽다’가 결합하여 된 단어들이 이에 해당되고‥‥‥.
출처: 국립국어원