‘다르므로’나 ‘다름으로’처럼 쓰는 것은 모두 가능합니다. 다만 ‘다르므로’는 ‘다르다’의 어간 ‘다르-’ 뒤에 까닭이나 근거를 나타내는 연결 어미 '-므로'가 붙은 것으로, 이때 ‘-므로’는 '-기 때문에'란 까닭의 뜻을 나타냅니다.
한편 ‘다름으로’는 ‘다르다’의 어간 ‘다르-’에 명사형 어미 ‘-ㅁ’이 붙은 ‘다름’ 뒤에 수단 또는 방법의 뜻을 나타내는 조사 ‘-으로’가 붙은 것으로, 이때 '-ㅁ으로'는 '-는 것으로(써)'란 수단 또는 방법의 뜻을 나타냅니다. 따라서 ‘-기 때문에’라는 뜻을 나타내는 경우에는 ‘다르므로’와 같이 쓰고, ‘-는 것으로(써)’란 수단 또는 방법의 뜻을 나타내는 경우에는 ‘다름으로(써)’와 같이 쓸 수 있습니다.
출처: 국립국어원