‘앞장서’와 ‘앞장서서’ 모두 맞습니다.
“무리의 맨 앞에 서다./어떤 일을 하는 때에 가장 먼저 나서다.”라는 뜻을 가진 동사 ‘앞장서다’는 어간 ‘앞장서-’에 연결 어미 ‘-어’가 결합되면 ‘앞장서’가 되고, 연결 어미 ‘-어서’가 결합되면 ‘앞장서서’가 됩니다.
‘앞장서’와 ‘앞장서서’에 어미 ‘-어’의 형태가 나타나지 않는 것은 모음 'ㅏ, ㅓ'로 끝난 어간에 '-아/-어, -았-/-었-'이 어울릴 적에는 준 대로 적기 때문입니다.(관련 규정: '한글 맞춤법' 제34항)
출처: 국립국어원