'썩히다'가 맞습니다. '썩이다'와 '썩히다'는 둘 다 동사 '썩다'의 사동사이기는 하지만 의미가 다릅니다. '썩이다'는 아래 예문 (1)에서 볼 수 있는 바와 같이 '걱정이나 근심으로 몹시 괴로운 상태가 되게 한다'는 의미입니다.
(1) ㄱ. 아이가 엄마 속을 썩였다.
ㄴ. 아이가 공부를 못해서 엄마가 속을 썩었다.
'썩히다'에는 세 가지 뜻이 있습니다.
첫째, '유기물을 부패하게 한다'는 뜻이 있습니다.
(2) ㄱ. 음식물 쓰레기를 썩혀서 거름을 만들었다.
ㄴ. 여름철에는 음식물 쓰레기가 잘 썩는다.
둘째, '물건이나 사람 또는 사람의 재능 따위가 쓰여야 할 곳에 제대로 쓰이지 못하고 내버려진 상태에 있게 한다'는 뜻이 있습니다.
(3) ㄱ. 그는 아까운 재능을 시골에서 썩히고 있다.
ㄴ. 그의 재능은 시골에서 썩기는 아깝다.
셋째, 약간 속된 말로 '본인의 의사와 관계없이 어떤 곳에 얽매여 있게 한다'는 뜻이 있습니다.
(4) ㄱ. 그 당시는 조사를 한다는 명분으로 몇 해이건 재판도 하지 않고 감옥에 넣어 썩힐 수가 있었다.
ㄴ. 그는 군대에서 삼 년 동안 썩었다며 억울해했다.
위의 예문에서 알 수 있듯이 '썩이다'와 '썩히다'는 의미에 따라 구분해서 써야 합니다.
출처: 국립국어원