"가능한 한 빨리 제출해 주십시오."가 바른 표현입니다. '가능한'은 형용사 '가능하다'의 관형사형으로 뒤에 명사나 의존 명사가 온다는 특징이 있습니다. 간혹 '가능한 일이다, 가능한 말이다'와 같은 표현에서 '가능한'이 서술어 '일이다, 말이다'와 함께 나타나는 것을 보고 "가능한 빨리 제출하다."도 성립하는 것으로 생각하는 분들이 있습니다.
그러나 '가능한 일이다, 가능한 말이다'에서 '가능한'은 '일이다, 말이다'라는 서술어를 수식하는 것이 아니라 '일, 말'이라는 명사를 수식하는 것입니다. 즉 '가능한 일이다'의 구조는 다음과 같이 '가능한 말'에 '이다'가 연결되었다고 할 수 있습니다.
(1) 가. [[[가능한] 일]이다]
나. [[[예쁜] 꽃]이다]
'가능한 일이다'는 "가능한 일만 맡아라, 가능한 때에 오세요, 가능한 시간이 언제입니까?"와 다르지 않습니다. 그러므로 '가능한' 다음에는 수식을 받는 명사나 의존 명사가 온다는 것을 알 수 있습니다.
"가능한 빨리 제출해 주십시오."는 '가능한' 다음에 '빨리'라는 부사가 온 문장으로, '가능한'이 수식할 말이 없는 상태입니다.
(2) 가. 특별한 변수가 없는 한 회담은 예정대로 진행될 것이다.
나. 내 힘이 닿는 한 자네를 도와주도록 하겠네.
다. 적어도 내가 아는 한에는 그는 그런 짓을 할 사람이 아니다.
위의 예처럼 "가능한 빨리 제출해 주십시오."도 '한(限)'이라는 명사를 써서 "가능한 한 빨리 제출해 주십시오."로 고쳐야 올바른 문장이 됩니다.
출처: 국립국어원