'하므로'는 동사 어간 '하-'에 까닭의 뜻을 나타내는 연결 어미 '-므로'가 붙은 말이고 '함으로'는 '하다'의 명사형 '함'에 조사 '으로(써)'가 붙은 형태입니다. '하므로'는 '하기 때문에'란 뜻이고 '함으로'는 '하는 것으로(써)'란 뜻입니다. 또한 '하므로'에는 '써'가 결합할 수 없지만 '함으로'에는 '써'가 결합할 수 있다는 차이가 있습니다.
(1) -하므로
ㄱ. 그는 부지런하므로 잘산다.
ㄴ. 그는 훌륭한 학자이므로 사람들에게 존경을 받는다.
(2) -함으로(써)
ㄱ. 그는 열심히 공부함으로(써) 부모님의 은혜에 보답한다.
ㄴ. 그는 열심히 일함으로(써) 보람을 느낀다.
(1)의 '-하므로'에는 '써'가 붙을 수 없지만 (2)의 '-함으로'에는 '써'가 붙을 수 있다는 점을 근거로 둘을 구별할 수 있습니다. 그리고 '-함으로써'의 '써'는 생략될 수 있습니다.
(3) ㄱ.*그는 부지런하므로써 잘산다.
ㄴ. 그는 열심히 일함으로(써) 보람을 느낀다.
출처: 국립국어원