관계대명사 아니고 5형식 문장입니다.
make가 사역동사구요 me가 목적어 want가 목적격 보어입니다.
want가 동사원형으로 쓰인 이유는 make가 사역동사라서 목적보어로 원형부정사 취한거고요.
to be a better man 은 to부정사의 명사적 용법으로 want의 목적어가 됩니다.
(그래서 문법적으로 엄밀히 말하자면 want to be a better man이 한꺼번에 목적격 보어가 됩니다.)
직역->너는/ 만들었다(시켰다) / 내가 / 원하도록 / 더 나은 사람이 되는 것을
의역-> 네 덕에 나는 더 나은 사람이 되고 싶어졌어.
추가로 왜 that이 아니냐면...
관계대명사 다시 좀 찾아보시면 금방 나오겠지만 주격 관계대명사는 생략이 불가능합니다. (물론 원칙적으로 그렇고 실제로 영어권 사람들 글써놓은거 보면 생략하기도 합니다;;;)