'하므로'는 동사 어간 '하－'에 까닭을 나타내는 연결 어미 '-므로'가 붙은 형태이며, '함으로(써)'는 '하다'의 명사형 '함'에 조사 '으로(써)'가 붙은 형태입니다. 이에 따라, '하므로'는 '하기 때문에'라는 뜻을 나타내고, '함으로(써)'는 '하는 것으로(써)'라는 뜻을 나타냅니다.
<보기>
-(으)므로: 날씨가 차므로, 나다니는 사람이 적다./비가 오므로, 외출하지 않았다./책이 없으므로, 공부를 못 한다.
-(으)ᄆ으로(써): 그는 늘 웃음으로(써) 대한다./책을 읽음으로(써) 시름을 잊는다./담배를 끊음으로써 용돈을 줄인다.
출처: 국립국어원