둘 다 맞습니다. 이들은 발음이 유사하기 때문에 혼동하기 쉽지만 쓰임에 차이가 있습니다. '어떻게'는 '어떠하다'가 줄어든 '어떻다'에 어미 '-게'가 결합하여 부사적으로 쓰이는 말이고 '어떡해'는 '어떻게 해'라는 구(句)가 줄어든 말입니다. 둘은 그 의미가 다를 뿐만 아니라 전자는 단어이고, 후자는 구이기 때문에 문장에서의 쓰임도 아주 다릅니다. '어떻게'는 부사형 활용이므로 다양한 용언을 수식합니다.
(1) ㄱ. 어떻게 된 거냐？
ㄴ. 이 일을 어떻게 처리하지?
반면에 '어떡해'는 그 자체가 완결된 구이므로 서술어로는 쓰일 수 있어도 다른 용언을 수식하지는 못합니다.
(2) ㄱ. 지금 나 어떡해.
ㄴ. *이 일을 어떡해 처리하지？
'어떡해'는 '어떻게 해'의 '게'에서 'ㅔ'가 줄고 나머지 'ㄱ'이 앞 음절의 받침으로 붙어 이루어진 말입니다. 소리가 [어떠캐]이고 '어떻게 해'에서 온 말이므로 원말의 형태를 살려 '어떡해'로 적는다고 할 수 있습니다.
출처: 국립국어원