'여쭈겠습니다, 여쭙겠습니다'는 동사 '여쭈다, 여쭙다'의 활용형으로, 모두 쓸 수 있습니다. 그리고 규칙 활용을 하는 '여쭈다'는 그 뒤에 어미 '-어'가 붙으면, '여쭈어 보겠습니다'와 같이 활용하지만, '비읍 불규칙 활용'을 하는 '여쭙다'는 '여쭈워 보겠습니다'와 같이 활용합니다.
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비읍 불규칙 활용(--不規則活用): 어간의 말음인 ‘ㅂ’이 ‘아’나 ‘아’로 시작되는 어미 앞에서는 ‘오’로, ‘어’나 ‘어’로 시작되는 어미 및 매개 모음을 요구하는 어미 앞에서는 ‘우’로 변하는 불규칙 활용. ‘와’, ‘워’, ‘우니’의 형태로 결합되어 나타나며, ‘돕-+-아→도와’, ‘굽-+-어→구워’, ‘아름답-+-(으)니→아름다우니’ 따위가 있다.
출처: 국립국어원