‘살아 있다’는 ‘살다’의 어간 ‘살-’ 뒤에 '-아 있다' 구성으로 쓰여 앞말이 뜻하는 행동이나 변화가 끝난 상태가 지속됨을 나타내는 보조 용언 ‘있다’가 결합한 것이고, ‘살아 계시다’는 ‘살다’의 어간 ‘살-’ 뒤에 ‘있다’의 높임말로서 ‘-아 계시다’ 구성으로 쓰이는 보조 용언 ‘계시다’가 결합한 것입니다. 본용언과 보조 용언은 '살아 있다/살아 계시다'와 같이 띄어 쓰는 것이 원칙이지만, '-아' 뒤에 연결되는 보조 용언은 본용언에 붙여 적는 것이 허용되므로, '살아있다/살아계시다'와 같이도 쓸 수 있습니다.
출처: 국립국어원