"변덕이 죽 끓듯 하다."와 같이 써야 합니다. '듯'과 '하다'가 이어져 나타나는 구성에는 두 가지 경우가 있습니다. 하나는 어간 다음에 바로 결합하는 경우이고, 다른 하나는 관형사형 다음에 오는 경우입니다.
(1) ㄱ. 변덕이 죽 끓듯 하다.
ㄴ. 오늘은 좋은 일이 있을 듯하다./있을듯하다.
(1ㄱ)의 '듯 하다'는 어미 '-듯'과 '하다'로 나누어지는 구조입니다. 이때의 '-듯'은 "구름에 달 가듯 가는 나그네"의 '가듯'과 같은 경우로 어간에 바로 결합합니다. 그러므로 '끓듯 하다'와 같이 띄어 쓰는 것입니다.
이에 비해 (1ㄴ)의 '듯하다'는 전체가 보조 용언입니다. 보조 용언은 앞말과 띄어 쓰는 것이 원칙이되 붙여 쓸 수도 있습니다. 그러므로 '있을 듯하다/있을듯하다'와 같이 됩니다. 보조 용언으로 쓰일 때의 특징은 앞말이 언제나 관형형이라는 것입니다. 즉 앞말이 어간이면 '-듯'이 어미이고, 관형형이면 '듯하다' 전체가 보조 용언이라고 할 수 있습니다.
출처: 국립국어원