“표준국어대사전”에 따르면, “밥은 먹었는가?/잘 잤는가?”의 ‘-는가’는 현재의 사실에 대한 물음을 나타내는 종결 어미로, 상대 높임법 등급에서 ‘하게체’에 해당합니다. ‘하게체’는 보통으로 낮추면서 약간 대우하여 주는 종결형으로, 어느 정도 나이가 든 화자가, 나이가 든 손아랫사람에게 말할 때에나 같은 연배의 친숙한 사이에서 쓰입니다.
참고로 알려 드리면, 상대 높임법의 등급이나 종류에 대해서는 학자에 따라서 견해가 다른데, ‘하게체’를 설정한 견해들에서는, ‘하게체’를 ‘예사낮춤’, ‘보통비대체’, ‘반말’, ‘하대’ 등의 등급으로 보고 있습니다.
<참고>
‘-는가’의 용례
¶시간 좀 있는가?/가진 돈 좀 없는가?/지금 뭐 하시는가?/자네 뭘 좀 먹었는가?/자네도 같이 가겠는가?/
상대 높임법
『언어』 일정한 종결 어미를 선택함으로써 상대편을 대우하여 표현하는 높임법. ‘해라체’, ‘하게체’, ‘하오체’, ‘합쇼체’, ‘해체’, ‘해요체’ 따위가 있다. ≒공손법ㆍ들을이높임법ㆍ상대 존대법ㆍ존비법ㆍ청자 높임법.
출처: 국립국어원